Formula di Legendre

In teoria dei numeri, l’identità di Legendre-de Polignac (o anche solo identità di Legendre), da Sdrien-Marie Legendre , fornisce l’esponente della maggiore potenza di un numero primo $p$ che divide il fattoriale $n!,$ dove $n\ge 1$ è un intero.

Per ogni $p$ numero primo e ogni $n$ intero positivo, con $v_{p}(n)$ indica l’esponente della maggiore potenza di un numero primo $p$ che divide $n$ (la valutazione p-adica di $n$ ). Allora: $\upsilon _{p}(n!)=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor ,$

dove $\left\lfloor x\right\rfloor$ rappresenta la parte intera di $x.$ Per ogni $j$ tale che n}”>, si ha: $\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor =0.$

Si può riformulare l’identità di Legendre-de Polignac in termini dell’espansione in base $p$ di $n.$ Con ${\displaystyle s_{p}(n)}$ si denota il numero di bit di n pari ad 1.