Definizione differenziale del processo di Wiener

Gli incrementi del processo di Wiener, o Brownian motion, sono indipendenti ed hanno distribuzione normale, nel caso stazionario:

dove Z è una normale standardizzata.

Nel caso generale del processo invece gli incrementi si distribuiscono secondo una normale $N(\mu \Delta t ,\sigma^2 \Delta t)$ , da cui ne segue:

P{t+\Delta t}=P_t+\mu \Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t}Z_t

Una particolarità del moto Browniano è che, essendo un Processo di variabili aleatorie assolutamente continue, può essere rappresentato anche sotto forma di equazioni differenziali, considerando incrementi infinitamente piccoli. Tali equazioni prendono il nome di Stochastic Differential Equation (SDE).

Nel caso di incremento stazionario si ha che $dP_t=\sqrt{dt}Z_t=dW_t$ dove $dW_t$ è detto incremento di Wiener.

Nel caso generalizzato invece si ha che $dP_t=\mu dt+\sigma \sqrt{dt}Z_t$ . La prima componente viene chiamata drift, mentre la seconda può essere riscritta come incremento di Wiener moltiplicato per un fattore pari a $\sigma$ .

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