La nozione di Brownian Motion

Un brownian motion {B(t): t≥0} si definisce come un processo continuo a valori reali, inoltre, gode delle seguenti proprietà:

• B(0) = n (dove per n si intende il generico “punto di partenza”);
• Il processo ha incrementi indipendenti, cioè per ogni tempo t1 ≤ t2 ≤ … ≤ tn gli incrementi B(tn) – B(t(n-1)), B(t(n-1)) – B(t(n-2)), … , B(t2) – B(t1) sono variabili aleatorie indipendenti;
• Per ogni valore t ≥ 0 e h > 0, gli incrementi B(t+h) – B(t) sono distribuiti come una normale di media zero e varianza h.

Questa particolare categoria di processi è molto importante nello studio dei mercati finanziari. IL tipo di approccio basato sulla statistica è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza, partendo dall’ipotesi che dalle variazioni browniane dei prezzi dei titoli finanziari derivi una formula per stimare l’andamento nel tempo dei prezzi dei prodotti finanziari derivati. Il termine oggi più usato per indicare questa rappresentazione matematica fa riferimento al concetto di passeggiata aleatoria, o random walk, ma quest’ultime vengono categorizzate nei processi aleatori discreti.