teorema funzionale del limite centrale per processi aleatori e la sua analogia con il teorema del limite centrale

Nella teoria di probabilità nell’ambito delle variabili aleatorie, uno dei risultati cruciali e più importanti è il Teorema Centrale del limite il quale afferma che sotto opportune condizioni, se consideriamo la media di una successione di  variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, se si standardizza la media di queste (sottraendole quindi la media delle singole variabili e rapportarla allo scarto quadratico medio), quindi se esistono e sono finite  e . Posto  allora  presenterà una distribuzione normale standard, .

Un risultato analogo può essere ottenuto per i processi stocastici. In questo caso si parla di Teorema del Limite Centrale Funzionale, o Teorema di Donsker. Grazie al principio di invariata, Donsker ha potuto estendere la convergenza del Teorema del Limite Centrale, a tutta la funzione di variabili aleatorie, cioè il processo aleatorio. Il principio di invariata di Donsker afferma che la funzione casuale W(n), cioè il processo aleatorio, converge in distribuzione ad un Moto Browniano standardizzato, che può essere definito, nell’ambito dei processi stocastici, come la normale standardizzata nell’ambito della variabili casuali.