Definizione differenziale del processo Geometric Brownian Motion e significato intuitivo

Il Geometric Brownian Motion viene introdotto in quanto, soprattutto in finanza, dato un processo aleatorio dei prezzi indicizzati dal tempo, oltre al fatto che si vuole che i prezzi siano sempre positivi, si è più interessati agli incrementi relativi piuttosto che a quelli assoluti. A tal fine di comprendere meglio la questione, si può banalmente pensare al fatto che un incremento assoluto di 100€ sul prezzo di una macchina risulti ovvio essere un incremento relativo prossimo allo zero, mentre un incremento, ad esempio, assoluto di 100€ su un biglietto del cinema equivale ad un incremento relativo altissimo. Quindi spesso non ha senso confrontare gli incrementi assoluti, rispetto invece agli incrementi relativi. Quindi in ambito finanziario è più corretto utilizzare gli incrementi relativi, rispettivamente chiamati return, espressi nel seguente modo: (P_t+ Δt – P_t)/P_t . Utilizzando questo tipo di incrementi si sta di fatto utilizzando un modello moltiplicativo, che descrive appunto il Moto Browniano Geometrico(GBM). 

In questo caso la SDE (Stochastic Differential Expression) per il caso stazionario è: dP_t = P_t*dW_t, dove dW_t indica l’incremento di Wiener, mentre nel caso più generale si ha che: dP_t = P_t (μdt + σdW_t), con μ a rappresentare la media e σ a rappresentare la varianza della “popolazione”.

Negli ABM l’incremento dei prezzi è dato dalla somma e sono distribuiti secondo una normale, nei GBM invece l’incremento non è dato dalla somma, ma dal prodotto dei prezzi. Per poter ottenere la loro distribuzione dobbiamo rimuovere il prodotto e trasformarlo in una somma. Utilizziamo quindi la funzione logaritmica. Otteniamo così:

ln dP_t = ln P_t + ln dW_t

Se nell’ABM l’incremento dei prezzi è definito come una N(0, Δt) e le distribuzioni dei prezzi, allo stesso modo, sono normali, nel GBM la situazione è differente. Infatti, il differenziale del prezzo non è più una somma di normali (e, di conseguenza, non è più una normale), ma corrisponde ad un prodotto. Quindi, per verificare la distribuzione del prezzo, occorre eliminare il prodotto  e per farlo si considera il logaritmo di entrambi i termini da cui segue, grazie alle proprietà dei logaritmi, che:

In questo modo, si ottiene una somma di normali e, di conseguenza, una normale: ln(P) è una normale e, in questo caso, si dice che P si distribuisce secondo una Log-Normale. Quindi, per definizione, la distribuzione dei prezzi in GBM è una log-normale. Considerando questo modello, dato che la log-normale è definita in (0, ∞), i prezzi non potranno più essere negativi e quindi riesce ad essere applicabile per uno scenario finanziario.