Il processo di Poisson e la sua relazione con varie distribuzioni statistiche

Il processo di Poisson serve a modellizzare situazioni in cui ci sono dei salti in corrispondenza di alcuni tempi. Si tratta di un processo continuous time ma a spazio discreto.

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà: (si indica con N il numero di eventi)

$N(0)=0$ , ovvero il processo parte dall’origine.
$P(N(t+\Delta t)=1)=\lambda \Delta t +o(\Delta t)$ , ovvero in ogni intervallo di tempo si può verificare un salto con una probabilità pari a $\lambda \Delta t$ . Ovviamente, più è largo l’intervallo e maggiore è la probabilità che avvenga un salto. In questo contesto, $\lambda$ è un parametro arbitrario positivo che esprime il tasso di arrivo. Tutto questo ragionamento può essere ricondotto ad un’estrazione di una bernoulliana che assumerà il valore 1 con probabilità pari a $\lambda \Delta t$ , mentre assumerà il valore 0 con probabilità pari a $1-\lambda \Delta t$ .
$P(N(t+\Delta t)=0)=1- \lambda \Delta t +o(\Delta t)$ , che deriva appunto da quanto detto nel punto 2.
$P(N(t+\Delta t)>1)=o(\Delta t)$ , ovvero la probabilità di avere un numero di salti maggiore di 1 in ogni intervallo tende a 0 quando l’ampiezza dell’intervallo tende a 0, per cui può essere trascurato.
I salti sono indipendenti e stazionari.

PROPRIETA’ DELLA DISTRIBUZIONE DI POISSON

La distribuzione di Poisson si può ottenere come limite di una distribuzione binomiale.
Per cui, fissando $\lambda =np$ , si ricorda che la funzione di densità di una variabile aleatoria binomiale è:

da cui, sostituendo $p=\frac{\lambda}{n}$ , si ha che:

P(X=k) =\frac{n!}{k!(n-k)!}\bigl(\frac{\lambda}{n}\bigr)^k \bigl(1-\frac{\lambda}{n}\bigr)^{n-k}

che si può riscrivere, sfruttando il fattoriale tronco:

P(X=k) =\frac{n\cdot ... \cdot (n-k+1)}{n^k} \frac{\lambda^k}{k!} \bigl(1-\frac{\lambda}{n}\bigr)^{n-k}

Per cui per $n \rightarrow \infty$ , si ha:

P(X=k) =\frac{\lambda^k}{k!} \frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^k}

Da cui, considerando sempre $n \rightarrow \infty$ , si ha che $(1-\frac{\lambda}{n})^k \rightarrow 1$ ,

e che

\bigl(1-\frac{\lambda}{n}\bigr)^n =e^{-k}

Si ottiene quindi:

Che corrisponde proprio alla probabilità di avere $k$ successi quando $n \rightarrow \infty$ e $\lambda$ è costante.

Un’altra distribuzione riconducibile a quella di Poisson è l’esponenziale negativa.

Un processo di Poisson $N(t)$ si distribuisce secondo una distribuzione di Poisson di parametro $\lambda t$ e per $t=0$ , si ha che:

P(N(0)=0)=\frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t}

Si può facilmente dimostrare che la distribuzione dei tempi di interarrivo, ovvero il tempo tra un arrivo e l’altro, ha distribuzione esponenziale negativa. Questo risultato si dimostra inizialmente per il primo tempo di interarrivo, ma si può poi estenderlo a tutti gli interarrivi per l’indipendenza dei salti. Indicando con A₁ il primo tempo di interarrivo, si ha che : P(A₁ ≤ t) = 1- P(A₁> t) = 1-e^-λt , dove il primo passaggio è giustificato in quanto si è semplicemente utilizzato il complementare dell’evento, mentre il secondo è giustificato in quanto P(A₁> t) è la probabilità che il primo evento avvenga dopo il tempo t ovvero fino al tempo t ci siano stati 0 eventi, e considerando la Poisson questa probabilità assume proprio il valore e^-λt poiché il termine (λⁿ)/n! assumerà valore 1 per n = 0. Il termine ottenuto 1-e^-λt corrisponde proprio alla funzione di ripartizione di una variabile aleatoria esponenziale negativa.

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