Per molti strumenti finanziari, la fluttuazioni del prezzo attorno ad un valore di equilibrio non riesce ad essere modellato da un moto Browniano. Questo infatti presenta una varianza troppo elevata a cui ne consegue che la variazione delle fluttuazioni porti i valori ad essere troppo distanti (in maniera inverosimile) dai prezzi di equilibrio. Nasce da questo limite i cosiddetti modelli mean reversion. La mean reversion è una nota strategia di trading usata soprattutto nel mercato azionario ma applicabile anche ad altri mercati finanziari. L’idea di fondo si basa sul fatto che il prezzo massimo e il prezzo minimo di un titolo siano temporanei, e che esso tenderà invece ad avere un prezzo di equilibrio nel tempo. Essa si applica dapprima identificando l’intervallo di trading dell’azione e poi calcolando il prezzo medio usando tecniche analitiche. L’idea di fondo è che quando il prezzo dell’azione nel mercato attuale è inferiore a tale prezzo medio, il titolo è considerato attraente per l’acquisto, poiché ci si aspetta che il prezzo salga. Quando, viceversa, il prezzo attuale del mercato è superiore al prezzo medio dell’azione, ci si aspetta che il prezzo del titolo cali: in altre parole, ci si attende che le deviazioni dal prezzo medio riportino il prezzo all’equilibrio.
In questo scenario, il modello più semplice è il Processo di Ornstein-Uhlenbeck. Il processo di Ornstein-Uhlenbeck può essere visto come una variazione della random walk in tempo continuo (Processi di Wiener), dove le proprietà del processo sono cambiate in maniera tale che la camminata aleatoria tenderà a tornare verso un valore centrale di equilibrio, con un attrazione maggiore dl punto di equilibrio, all’aumentare dalla sua distanza.
Il processo è definito dalla seguente equazione stocastica differenziale:
dove theta rappresenta la reversion speed, ovvero la velocità (o intensità) con cui il processo tenderà al punto di equilibrio (dove il punto di equilibrio risulta essere pari a 0), Xt è il valore del processo di Ornstein-Uhlenbeck al tempo t , mentre Wt è il processo di Wiener. Maggiore sarà quindi la distanza del valore dallo 0, più forte sarà la tendenza a tornare verso l’equilibrio.
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